Question

5．已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)任意的a，b∈R都滿足：f（a•b）=af（b）+bf（a），若f（2）=2，U_n=f（2ⁿ）（n∈N^*）
（1）求U_l，U₂，U₃的值．     
（2）求證：U_n+1＞U_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可令a=2，b=2^n-1（n∈N^*），然后分別取n為1，2，3求得U_l，U₂，U₃的值．
（2）由（1）猜測(cè)f（2ⁿ）=n×2ⁿ（n∈N^*），然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論，再由${U}_{n+1}-{U}_{n}＞0（n∈{N}^{*}）$證得U_n+1＞U_n．

解答 （1）解：令a=2，b=2^n-1（n∈N^*），
當(dāng)n=1時(shí)，${U}_{1}=f（2）=2=1×{2}^{1}$，
當(dāng)n=2時(shí)，${U}_{2}=f（2×2）=f（{2}^{2}）=2f（2）+2f（2）=2×{2}^{2}$，
當(dāng)n=3時(shí)，${U}_{3}=f（2×{2}^{2}）=2f（{2}^{2}）+{2}^{2}f（2）=3×{2}^{3}$，
∴U₁=2，U₂=8，U₃=24；
（2）由（1）猜測(cè)f（2ⁿ）=n×2ⁿ（n∈N^*）．
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，f（2）=1×2，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即f（2^k）=k×2^k，
當(dāng)n=k+1時(shí)，f（2^k+1）=f（2×2^k）=2f（2^k）+2^kf（2）=2×k×2^k+2^k×2=k×2^k+1+2^k+1=（k+1）×2^k+1．
∴n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
由①②可知，對(duì)n∈N^*，
f（2ⁿ）=n×2ⁿ．
∴${U}_{n}=f（{2}^{n}）=n×{2}^{n}（n∈{N}^{*}）$．
要證明U_n+1＞U_n，只需證明${U}_{n+1}-{U}_{n}＞0（n∈{N}^{*}）$，
∵${U}_{n+1}-{U}_{n}=（n+1）•{2}^{n+1}-n•{2}^{n}={2}^{n}（n+2）＞0$，
∴U_n+1＞U_n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，正確理解題意，合理設(shè)出a，b的值是解答該題的關(guān)鍵，屬中高檔題．