Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）對(duì)任意的x都有$f（\frac{π}{4}+x）=f（\frac{π}{4}-x）$，若設(shè)函數(shù)g（x）=3sin（ωx+φ）-1，則$g（\frac{π}{4}）$的值是-1．

Answer 1

分析 根據(jù)$f（\frac{π}{4}+x）=f（\frac{π}{4}-x）$，得出x=$\frac{π}{4}$是函數(shù)f（x）的一條對(duì)稱軸，從而求出φ的表達(dá)式，再函數(shù)g（x）的解析式以及$g（\frac{π}{4}）$的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）對(duì)任意的x都有$f（\frac{π}{4}+x）=f（\frac{π}{4}-x）$，
∴x=$\frac{π}{4}$是函數(shù)f（x）的一條對(duì)稱軸，
∴cos（$\frac{π}{4}$ω+φ）=±1，
即$\frac{π}{4}$ω+φ=kπ，k∈Z，
∴φ=kπ-$\frac{π}{4}$ω，k∈Z；
∴函數(shù)g（x）=3sin（ωx+φ）-1=3sin（ωx+kπ-$\frac{π}{4}$ω）-1，k∈Z；
∴$g（\frac{π}{4}）$=3sin（$\frac{π}{4}$ω+kπ-$\frac{π}{4}$ω）=3sinkπ-1=-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸的問題．注意正余弦函數(shù)在其對(duì)稱軸上取最值，是基礎(chǔ)題目．