Question

11．已知函數(shù)$f（x）={2^x}+\frac{k}{2^x}$是定義域為R的奇函數(shù)．
（1）求k的值，并判斷y=f（x）的單調(diào)性（不要求證明）；
（2）若$f（x）＞\frac{3}{2}$，求x的取值范圍；
（3）若$g（x）={4^x}+\frac{1}{4^x}+2mf（x）$在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，從而有f（0）=0，這樣便可求出k=-1，從而$f（x）={2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和增函數(shù)的定義即可判斷出f（x）為R上的增函數(shù)；
（2）可求出f（1）=$\frac{3}{2}$，從而有f（x）＞f（1），根據(jù)f（x）的單調(diào)性便可得出f（x）$＞\frac{3}{2}$的解集，即x的取值范圍；
（3）先得到g（x）=2^2x+2^-2x+2m（2^x-2^-x），可設(shè)2^x-2^-x=t，并可得到$t∈[\frac{3}{2}，+∞）$，從而有h（t）=t²+2mt+2，對稱軸為t=-m，從而可以討論-m和$\frac{3}{2}$的關(guān)系：分$-m≤\frac{3}{2}$和$-m＞\frac{3}{2}$兩種情況，求出每種情況下的h（t）的最小值，根據(jù)最小值為-2即可求出m的值．

解答 解：（1）f（x）為R上的奇函數(shù)；
∴f（0）=1+k=0；
∴k=-1；
∴$f（x）={2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$；
x增大時，2^x增大，$\frac{1}{{2}^{x}}$減小，$-\frac{1}{{2}^{x}}$增大；
∴${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$增大，即f（x）增大；
∴f（x）在R上單調(diào)遞增；
（2）由（1）f（x）在R上單調(diào)遞增，且f（1）=$\frac{3}{2}$；
∴$f（x）＞\frac{3}{2}$的解集為（1，+∞）；
（3）g（x）=2^2x+2^-2x+2m（2^x-2^-x）；
令2^x-2^-x=t，則2^2x+2^-2x=t²+2，由x∈[1，+∞）得t$∈[\frac{3}{2}，+∞）$；
∴h（t）=t²+2mt+2=（t+m）²+2-m²，$t∈[\frac{3}{2}，+∞）$；
①當(dāng)$-m≤\frac{3}{2}$，即$m≥-\frac{3}{2}$時，h（t）在$[\frac{3}{2}，+∞）$上為增函數(shù)；
∴$h（t）_{min}=h（\frac{3}{2}）=\frac{9}{4}+3m+2=-2$，解得$m=-\frac{25}{12}∉（-\frac{3}{2}，+∞）$（舍去）；
②當(dāng)$-m＞\frac{3}{2}$，即$m＜-\frac{3}{2}$時，$h（t）_{min}=h（-m）=2-{m}^{2}=-2$，解得m=-2，或m=2（舍去）；
∴綜上可得，m的值為-2．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點有定義時，原點處的函數(shù)值為0，以及增函數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)增函數(shù)的定義解不等式的方法，換元法的運用，以及二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的最小值的求法．