Question

20．某營養(yǎng)學(xué)家建議：高中生每天的蛋白質(zhì)攝入量控制在[60，90]（單位：克），脂肪的攝入量控制在[18，27]（單位：克）．某學(xué)校食堂提供的伙食以食物A和食物B為主，1千克食物A含蛋白質(zhì)60克，含脂肪9克，售價20元；1千克食物B含蛋白質(zhì)30克，含脂肪27克，售價15元．
（Ⅰ）如果某學(xué)生只吃食物A，判斷他的伙食是否符合營養(yǎng)學(xué)家的建議，并說明理由；
（Ⅱ）為了花費最低且符合營養(yǎng)學(xué)家的建議，學(xué)生需要每天同時食用食物A和食物B各多少千克？并求出最低需要花費的錢數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如果學(xué)生只吃食物Axkg，從而得不等式組$\left\{\begin{array}{l}{60≤60x≤90}\\{18≤9x≤27}\end{array}\right.$，是否有解即可；
（Ⅱ）由題意，設(shè)學(xué)生每天吃食物Axkg，食物Bykg；從而得到目標(biāo)函數(shù)z=20x+15y；線性約束條件$\left\{\begin{array}{l}{60≤60x+30y≤90}\\{18≤9x+27y≤27}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，從而利用線性規(guī)劃求解即可．

解答 解：（Ⅰ）如果學(xué)生只吃食物Axkg，
則$\left\{\begin{array}{l}{60≤60x≤90}\\{18≤9x≤27}\end{array}\right.$，
無解，
故不符合營養(yǎng)學(xué)家的建議；
（Ⅱ）由題意，設(shè)學(xué)生每天吃食物Axkg，食物Bykg；
則z=20x+15y；
$\left\{\begin{array}{l}{60≤60x+30y≤90}\\{18≤9x+27y≤27}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$
作平面區(qū)域如下，
，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3y}\\{y=2-2x}\end{array}\right.$解得，x=$\frac{4}{5}$，y=$\frac{2}{5}$；
故z=20×$\frac{4}{5}$+15×$\frac{2}{5}$=22；
答：學(xué)生每天吃0.8千克食物A，0.4千克食物B，既能符合營養(yǎng)學(xué)家的建議又花費最少．
最低需要花費22元．

點評 本題考查了線性規(guī)劃在實際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．