Question

5．已知拋物線的頂點在原點，x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線，被拋物線所截得的弦長為6．
（1）求直線方程；              
（2）求拋物線方程．

Answer 1

分析 依題意，設拋物線方程為y²=2px，可求得過焦點且傾斜角為45°的直線方程為y=x-$\frac{1}{2}$p，利用拋物線的定義結(jié)合題意可求得p，從而可求得拋物線方程；同理可求拋物線方程為y²=-2px時的結(jié)果．

解答 解：依題意，設拋物線方程為y²=2px，焦點為（$\frac{p}{2}$，0），
則直線方程為y=x-$\frac{1}{2}$p．
設直線交拋物線于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，
過A、B分別作準線的垂線，垂足分別為C、D．
則由拋物線定義得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|
=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$，
即x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=6．①
又A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是拋物線和直線的交點，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$消去y，得x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
∵△=9p²-4×$\frac{{p}^{2}}{4}$=8p²＞0．
∴x₁+x₂=3p．
將其代入①得p=$\frac{3}{2}$，
∴所求拋物線方程為y²=3x．
當拋物線方程設為y²=-2px（p＞0）時，
同理可求得拋物線方程為y²=-3x．
則有（1）直線方程為y=x±$\frac{3}{4}$；
（2）拋物線方程為y²=3x或y²=-3x．

點評 本題考查拋物線的標準方程，突出拋物線定義得應用，考查方程組思想與化歸思想的綜合運用，考查分析與運算能力，屬于中檔題．