Question

16．已知數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，滿足S_n=2a_n-2n（n∈N^*）．
（I）證明：{a_n+2}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+2），T_n為數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和，若T_n＜a對正整數(shù)a都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用數(shù)列的通項和前n項和的關(guān)系，變形整理即可得到{a_n+2}是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式，即可求得；
（Ⅱ）運用對數(shù)的運算性質(zhì)，化簡b_n，再由裂項相消求和，即可得到T_n，運用不等式恒成立思想即可得到a的范圍．

解答 （Ⅰ）證明：由題設(shè)S_n=2a_n-2n（n∈N^*），
S_n-1=2a_n-1-2（n-1），n≥2，
兩式相減得a_n=2a_n-1+2，
即a_n+2=2（a_n-1+2），
又a₁+2=4，
所以{a_n+2}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，
a_n+2=4•2^n-1，即a_n=2ⁿ⁺¹-2（n≥2）
又a₁=2，所以a_n=2ⁿ⁺¹-2（n∈N^*）；
（Ⅱ）解：因為b_n=log₂（a_n+2）=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，
即有$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
故T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$＜$\frac{1}{2}$，
依題意得：a≥$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和數(shù)列求和的方法：裂項相消求和，同時考查不等式恒成立思想轉(zhuǎn)化為最值，屬于中檔題．