Question

12．圓x²+y²-2x-5=0與圓x²+y²+2x-4y-4=0的交點(diǎn)為A，B，
（1）求線段AB的垂直平分線的方程；
（2）求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）線段AB的垂直平分線的方程，即兩圓的圓心的連線MN，用兩點(diǎn)式求得MN的方程．
（2）先求得公共弦AB的方程為 4x+4y-1=0，由于圓N的半徑為3，求得點(diǎn)N到AB的距離為d，再利用弦長(zhǎng)公式求得線段AB的長(zhǎng)．

解答 解：（1）圓M：x²+y²-2x-5=0，即 （x-1）²+y²=6，表示以M（1，0）為圓心、半徑等于$\sqrt{6}$的圓．
圓N：x²+y²+2x-4y-4=0，即（x+1）²+（y-2）²=9，表示以N（-1，2）為圓心、半徑等于3的圓．
由于兩圓的交點(diǎn)為A，B，故AB為公共弦，故AB的垂直平分線即兩圓的圓心的連線MN，
故線段AB的垂直平分線的方程為 $\frac{y-0}{2-0}$=$\frac{x-1}{-1-1}$，即 x+y-1=0．
（2）把兩圓的方程相減，可得公共弦AB的方程為 4x+4y-1=0，
圓N的半徑為3，點(diǎn)N（-1，2）到AB的距離為d=$\frac{|-4+8-1|}{\sqrt{16+16}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，故弦長(zhǎng)AB=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{9-\frac{18}{64}}$=$\frac{3\sqrt{62}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．