Question

4．若直線ax+by=4與不等式組$\left\{\begin{array}{l}2x-5y+8≥0\\ 2x+y-4≤0\\ x+2y+4≥0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域無公共點，則a+b的取值范圍是（-3，3）．

Answer 1

分析 由題意畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}2x-5y+8≥0\\ 2x+y-4≤0\\ x+2y+4≥0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，結(jié)合直線ax+by=4與不等式組$\left\{\begin{array}{l}2x-5y+8≥0\\ 2x+y-4≤0\\ x+2y+4≥0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域無公共點得到關(guān)于a，b的不等式組，然后利用線性規(guī)劃知識求得a+b的取值范圍．

解答 解：由不等式組$\left\{\begin{array}{l}2x-5y+8≥0\\ 2x+y-4≤0\\ x+2y+4≥0\end{array}\right.$作出平面區(qū)域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8=0}\\{x+2y+4=0}\end{array}\right.$，解得A（-4，0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得C（1，2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+4=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得B（4，-4）．
∵直線ax+by=4與不等式組$\left\{\begin{array}{l}2x-5y+8≥0\\ 2x+y-4≤0\\ x+2y+4≥0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域無公共點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4a＞4}\\{a+2b＞4}\\{4a-4b＞4}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{-4a＜4}\\{a+2b＜4}\\{4a-4b＜4}\end{array}\right.$②．
（a，b）所在平面區(qū)域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{a-b-1=0}\end{array}\right.$，解得M（-1，-2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{a-b-1=0}\\{a+2b-4=0}\end{array}\right.$，解得N（2，1），
令t=a+b，即b=-a+t，
∴當(dāng)直線b=-a+t過M時，t有最小值為-3；當(dāng)直線b=-a+t過N時t有最大值為3．
∴t=a+b的范圍是（-3，3）．
故答案為：（-3，3）．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．