Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，若函數(shù)f（x）滿足條件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$]，則稱f（x）為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)f（x）=log₂（2^x+t）為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{4}$）
• B． （-∞，$\frac{1}{4}$）
• C． （0，$\frac{1}{4}$]
• D． （-∞，$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 根據(jù)“倍縮函數(shù)”的定義，構(gòu)造出方程組，利用方程組的解都大于0，求出t的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=f（x）=log₂（2^x+t）為“倍縮函數(shù)”，
且滿足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$]，
∴f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（{2}^{a}+t）=\frac{a}{2}}\\{lo{g}_{2}（{2}^+t）=\frac{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{a}+t={2}^{\frac{a}{2}}}\\{{2}^+t={2}^{\frac{2}}}\end{array}\right.$，
∴a，b是方程2^x-${2}^{\frac{x}{2}}$+t=0的兩個根，
設(shè)m=${2}^{\frac{x}{2}}$=$\sqrt{{2}^{x}}$，則m＞0，此時方程為m²-m+t=0即方程有兩個不等的實根，且兩根都大于0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{2}-4t＞0}\\{t＞0}\end{array}\right.$，
解得：0＜t＜$\frac{1}{4}$，
∴滿足條件t的范圍是（0，$\frac{1}{4}$），
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)的值域問題，利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．