Question

13．對(duì)于函數(shù)f（x）=x²-lnx．
（1）求其單調(diào)區(qū)間；
（2）點(diǎn)P是曲線y=x²-lnx上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y=x-2的最小距離；
（3）若g（x）=8x-7lnx-k，f（x）與g（x）兩個(gè)函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得f（x）的定義域?yàn)閤＞0，通過(guò)f′（x）即得單調(diào)區(qū)間；
（2）由題，令f′（x）=$2x-\frac{1}{x}$=1，解得x=1或$-\frac{1}{2}$（舍），此時(shí)y=1-ln1=1，即曲線上過(guò)P（1，1）的切線平行于直線y=x-2時(shí)，有最小距離d=$\frac{|1-1+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；
（3）令f（x）=g（x），記G（x）=-x²+8x-6lnx，討論G′（x）即得結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得f（x）的定義域?yàn)閤＞0，
所以f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2}{x}（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）（x+\frac{\sqrt{2}}{2}）$，
故當(dāng)x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）時(shí)f′（x）＜0，即在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)減；
當(dāng)x∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）時(shí)f′（x）＞0，即在此區(qū)間里單調(diào)增；
（2）由題，知直線y=x-2的斜率為k=1，
令f′（x）=$2x-\frac{1}{x}$=1，得2x²-x-1=（2x+1）（x-1）=0，
解得x=1或$-\frac{1}{2}$（舍），此時(shí)y=1-ln1=1，
即曲線上過(guò)P（1，1）的切線平行于直線y=x-2時(shí)，
那么這一點(diǎn)到直線的距離最小，此最小距離d=$\frac{|1-1+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；
（3）令f（x）=g（x），即x²-lnx=8x-7lnx-k，得k=-x²+8x-6lnx，
記G（x）=-x²+8x-6lnx，令G′（x）=$-2x+8-\frac{6}{x}$=$-\frac{2（x-1）（x-3）}{x}$=0，
解得，x₁=1，x₂=3，不難判斷x₁=1是極小點(diǎn)，x₂=3是極大點(diǎn)，
故G_min（x）=G（1）=-1+8=7，G_max（x）=G（3）=-9+24-6ln3=15-6ln3，
又當(dāng)x→0時(shí)，G（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，G（x）→-∞，
故要使f（x） 與g（x）兩個(gè)函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，必須有：7＜k＜15-6ln3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，點(diǎn)到直線的距離，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于難題．