Question

4．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F重合，且橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與焦點(diǎn)F構(gòu)成正三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若橢圓在第一象限的一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線PA、PB分別交橢圓于另外兩點(diǎn)A、B，求證：直線AB的斜率為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）聯(lián)立直線和橢圓方程，利用消元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合直線斜率公式進(jìn)行化簡整理即可．

解答 解：（I）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0）
∴c=1…（1分）
∵橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與焦點(diǎn)F構(gòu)成正三角形
∴b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$…（5分）
（II）由題意可得P（1，$\frac{3}{2}$）…（6分）
∵PA、PB是傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線
∴PA、PB的斜率均存在，設(shè)PA的斜率為k，則
PA的方程為y=k（x-1）+$\frac{3}{2}$代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$得，
（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（$\frac{3}{2}$-k）²-12=0…（8分）
設(shè)A（x_A，y_A），
則x_A+1=$\frac{-4k（3-2k）}{3+4{k}^{2}}=\frac{8{k}^{2}-12k}{3+4{k}^{2}}$，
即 x_A=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，
y_A=k（x_A-1）$+\frac{3}{2}$=kx_A-k+$\frac{3}{2}$=…（10分）
又直線PB與PA的傾斜角互補(bǔ)，在上式中以-k代k，
設(shè)B（x_B，y_B），可得x_B=$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$
y_B=-kx_B+k+$\frac{3}{2}$…（11分）
∴直線AB的斜率為k_AB=$\frac{{y}_{B}-{y}_{A}}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{k（2-{x}_{A}-{x}_{B}）}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{k[2-（\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}+\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}）]}{\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
∴直線AB的斜率為定值$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查橢圓方程的求解以及直線斜率的計(jì)算，利用直線和橢圓方程的位置關(guān)系，利用設(shè)而不求的思想是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性較強(qiáng)運(yùn)算量較大．