Question

已知函數(shù) 
（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)時，恒成立，求整數(shù)的最大值；
（3）試證明：（）

Answer 1

（1）在區(qū)間上是減函數(shù)；（2）；（3）詳見解析

解析試題分析：（1）求導(dǎo)即可知，在區(qū)間上是減函數(shù)；（2）將代入得在上恒成立，令，則 下面利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可；（3）待證不等式的左邊是積的形式，而右邊是底數(shù)為的一個冪，故考慮兩邊取自然對數(shù)，即原不等式轉(zhuǎn)化為： 注意用（2）題的結(jié)果 由（2）可得： 對照所要證明的不等式可知，需令，由此可得：

 
 
即 
試題解析：（1）由題                 （3分）
故在區(qū)間上是減函數(shù)                             （4分）
（2）當(dāng)時，在上恒成立，取，則，                                  （6分）
再取則             （7分）
故在上單調(diào)遞增，
而，            （8分）
故在上存在唯一實數(shù)根，
故時，時，
故故          （9分）
（3）由（2）知：
令，
所以
 
 
即              14分
考點：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、導(dǎo)數(shù)與不等式