Question

9．已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，直線l過定點(diǎn)A（1，0）．
（1）若l與圓C相切，求l的方程．
（2）若l與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，若$|PQ|=2\sqrt{2}$，求此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）若直線l的斜率不存在，則直線l：x=1，符合題意；若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為kx-y-k=0．由題意知，圓心（3，4）到已知直線l的距離等于半徑2，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式得$k=\frac{3}{4}$，從而求出直線的方程．
（2）設(shè)直線方程為kx-y-k=0，由弦長(zhǎng)|PQ|求出弦心距$d=\sqrt{2}$，由此利用點(diǎn)到直線距離公式求出k=1或k=7，從而能求出直線l的方程．

解答 解：（1）若直線l的斜率不存在，則直線l：x=1，符合題意．
若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由題意知，圓心（3，4）到已知直線l的距離等于半徑2，
即：$\frac{{|{3k-4-k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，解得$k=\frac{3}{4}$，此時(shí)直線的方程為3x-4y-3=0．
綜上可得，所求直線l的方程是x=1或3x-4y-3=0．----（6分）
（2）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設(shè)直線方程為kx-y-k=0，
∵$|{PQ}|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{2}$，∴弦心距$d=\sqrt{2}$，即$\frac{{|{3k-4-k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2\sqrt{2}$，
解得k=1或k=7，
所求直線l的方程為x-y-1=0或7x-y-7=0．----（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，考查直線方程、圓、點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．