Question

設(shè)橢圓的方程為 ，斜率為1的直線不經(jīng)

過原點(diǎn)，而且與橢圓相交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).

（1）問：直線與能否垂直？若能，之間滿足什么關(guān)系；若不能，說明理由；

（2）已知為的中點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上.若，求橢圓的離心率.

Answer 1

解答：（1）∵斜率為1的直線不經(jīng)過原點(diǎn)，而且與橢圓相交于兩點(diǎn)，

∴可以設(shè)直線的方程為.

∵，∴，

∴.     ① ………………………………1分

∵直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，∴

.  ② …………………… 2分

且.   ③ ……………………………… 3分

∵為線段的中點(diǎn)，∴,

∴，∴. ……… 4分

假設(shè)直線與能垂直.

∵直線的斜率為1，∴直線的斜率為-1，

∴，∴.……………………………………………… 5分

∵在橢圓方程中，，

∴假設(shè)不正確，在橢圓中直線與不能垂直. …………………………… 6分

（2）∵M(jìn)為ON的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，∴四邊形OANB為平行四邊形.

∵，∴四邊形OANB為矩形，∴，……………………… 7分

∴，∴，∴，

∴，

∴，整理得.……… 8分

∵點(diǎn)在橢圓上，∴，∴. …… 9分

此時(shí)，滿足，

消去得，即. ………………………… 10分

設(shè)橢圓的離心率為e，則，∴，

∴，∴，

∴，∵，∴.