Question

15．雙曲線C：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率為$\frac{5}{4}$，焦點到漸近線的距離為3，則C的實軸長等于8．

Answer 1

分析 根據雙曲線的離心率結合焦點到漸近線的距離建立方程關系求出a的值即可．

解答 解：∵雙曲線的漸近方程為y=±$\frac{a}$x，
設一個焦點坐標為F（c，0），一個漸近線方程為bx-ay=0，
則焦點到漸近線的距離為3，
即d=$\frac{|bc|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}=\frac{bc}{c}$=b=3，
∵雙曲線C：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率為$\frac{5}{4}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，即c=$\frac{5}{4}$a，
則c²=$\frac{25}{16}$a²=a²+9，
即$\frac{9}{16}$a²=9，
則a²=16，
即a=4，
則C的實軸長等于2a=8，
故答案為：8．

點評 本題主要考查雙曲線的方程和性質，根據條件建立方程關系是解決本題的關鍵．