Question

10．已知雙曲線 $C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦點(diǎn)為F，雙曲線C與過原點(diǎn)的直線相交于A、B兩點(diǎn)，連接AF，BF．若|AF|=6，|BF|=8，$cos∠BAF=\frac{3}{5}$，則該雙曲線的離心率為5．

Answer 1

分析 在△AFB中，由余弦定理可得|BF|²=|AB|²+|AF|²-2|AB|•|AF|cos∠BAF，即可得到|AB|，由勾股定理的逆定理，可得∠ABF=90°，設(shè)F′為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接BF′，AF′．根據(jù)對(duì)稱性可得四邊形AFBF′是矩形．即可得到a，c，進(jìn)而求得離心率．

解答 解：在△AFB中，由余弦定理可得
|BF|²=|AB|²+|AF|²-2|AB|•|AF|cos∠BAF，
即有64=|AB|²+36-12|AB|•
化為|AB|²-$\frac{36}{5}$|AB|-28=0，
解得|AB|=10．
由勾股定理的逆定理，可得∠ABF=90°，
設(shè)F'為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接BF′，AF′．
根據(jù)對(duì)稱性可得四邊形AFBF′是矩形．
結(jié)合矩形性質(zhì)可知，2c=10，利用雙曲線定義，2a=8-6=2，
所以離心率e=$\frac{c}{a}$=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握余弦定理、雙曲線的定義、對(duì)稱性、離心率、矩形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．