Question

3．直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=4，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA=PB，PD=PC，N為CD中點(diǎn)．
（1）求證：平面PCD⊥平面ABCD；
（2）在線段PC上是否存在一點(diǎn)E使得NE∥平面ABP．若存在，說明理由并確定E點(diǎn)的位置，若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）過P作PF⊥AB，垂足為F，利用等腰三角形的三線合一，首先判斷AB⊥平面PNF，得到AB⊥PN，只要再判斷PN與CD垂直即可；
（2）解：假設(shè)在線段PC上存在一點(diǎn)E使得NE∥平面ABP；由（1）得NF=3，并且NF∥BC，在平面PBC內(nèi)，取CE=$\frac{1}{4}$PC，過E作EG∥BC，與PB交于G，判斷四邊形NEGF為平行四邊形，得到線線平行，利用線面平行的判定定理可得．

解答 （1）證明：過P作PF⊥AB，垂足為F，∵PA=PB，∴F為AB 的中點(diǎn)，連接NF
∵N為CD中點(diǎn)，
∴PN⊥CD，NF∥BC，
∵AB⊥BC
∴NF⊥AB，
∴AB⊥平面PNF，
∴AB⊥PN，
∵AB，CD是梯形的兩腰，即AB與CD相交，
∴PN⊥平面ABCD，
∵PN?平面PCD
∴平面PCD⊥平面ABCD；
（2）解：假設(shè)在線段PC上存在一點(diǎn)E使得NE∥平面ABP；由（1）得NF=3，并且NF∥BC，
在平面PBC內(nèi)，取CE=$\frac{1}{4}$PC，過E作EG∥BC，與PB交于G，則EG=$\frac{3}{4}$BC=3，
∴NF∥EG，并且NF=EG，
∴四邊形NEGF為平行四邊形，
∴NE∥FG，
又NF?平面PAB，F(xiàn)G?平面PAB，
∴NE∥平面PAB．
所以在線段PC上存在一點(diǎn)E使得NE∥平面ABP．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定定理的運(yùn)用以及探索線面平行的條件，屬于中檔題．