Question

2．如圖，點B、C、D都在半徑為6的⊙O上，過點C作AC∥BD交OB的延長線于點A，連接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．

（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角的性質求得∠COB=2∠CDB=60°，然后證明四邊形ABDC為平行四邊形，從而證得∠A=∠D=30°，根據(jù)三角形的內角和定理證得∠OCA=180°-∠A-∠COB=90°，即OC⊥AC，從而證得AC是⊙O的切線；
（2）證明△OEB≌△CED，將陰影部分面積問題轉化為求扇形OBC的面積求解．

解答 （1）證明：連接OC，OC交BD于E，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
∵∠CDB=∠OBD，
∴CD∥AB，
又∵AC∥BD，
∴四邊形ABDC為平行四邊形，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠OCA=180°-∠A-∠COB=90°，即OC⊥AC，
又∵OC是⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：∵在△OEB和△CED中，∠OBE=∠CDE，∠OEB=∠CED，BE=DE，∴△OEB≌△CED（AAS），∴S_陰影=S_扇形BOC．
∴S_陰影=$\frac{60•π•{6}^{2}}{360}$=6π．
答：陰影部分的面積是6π．

點評 本題考查了平行四邊形的判定和性質，切線的判定，平行線的性質等，連接OC構建直角三角形是解題的關鍵．