Question

15．某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：

單價x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
銷量y（件）	90	84	83	80	75	68

（1）求回歸直線方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，其中b=-20，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$；
（2）預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（1）中的關系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應定為多少元？（利潤=銷售收入-成本）
回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為$\stackrel{∧}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$．

Answer 1

分析 （1）計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，根據(jù)回歸直線方程過樣本中心點求出a的值，寫出回歸直線方程；
（2）設工廠獲得的利潤為L元，利用回歸直線方程寫出L的利潤函數(shù)，求出最大值即可．

解答 解：（1）計算$\overline{x}$=$\frac{1}{6}$×（8+8.2+8.4+8.6+8.8+9）=8.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$×（90+84+83+80+75+68）=80，
且回歸直線方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a中b=-20，
∴a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=80-（-20）×8.5=250，
∴回歸直線方程為$\stackrel{∧}{y}$=-20x+250；
（2）設工廠獲得的利潤為L元，且回歸直線方程為$\stackrel{∧}{y}$=-20x+250；
∴L=x（-20x+250）-4（-20x+250）=-20x²+330x-1000=-20${（x-\frac{33}{4}）}^{2}$+361.25，
當且僅當x=$\frac{33}{4}$=8.25時，L取得最大值，
即當單價定為8.25元時，工廠獲得利潤最大．

點評 本題考查了線性回歸方程的應用問題，是基礎題．