Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù)．下列結(jié)論不正確的是（　�。�

• A． 若$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）+f（-x）}{x}$存在，則f′（0）存在
• B． 若$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）+f（-x）}{x}$存在，則f（0）=0
• C． 若$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x}$存在，則f（0）=0
• D． 若$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x}$存在，則f′（0）存在

Answer 1

分析 令f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x，x＞0}\\{x，x≤0}\end{array}\right.$，從而可得．

解答 解：令f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x，x＞0}\\{x，x≤0}\end{array}\right.$，
此時$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）+f（-x）}{x}$存在，但f′（0）不存在，
故A不正確；
∵$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）+f（-x）}{x}$存在，
∴$\underset{lim}{x→0}$f（x）+f（-x）=0，
又∵函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù)，
∴f（0）=0，故B正確；
∵$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x}$存在，
∴$\underset{lim}{x→0}$f（x）=0，
又∵函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù)，
∴f（0）=0，故C正確；
∵$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x}$存在，又∵f（0）=0，
∴$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）-f（0）}{x-0}$存在，
故f′（0）存在．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)的連續(xù)性的判斷與應(yīng)用．