Question

14．已知y=f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）=lnx-ax（a$＞\frac{1}{2}$），當(dāng)x∈（-2，0）時(shí)，f（x）的最小值為2，則a的值等于（　�。�

• A． e
• B． 1
• C． $\frac{2}{e}$
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性，確定f（x）在（0，2）上的最大值為-2，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，即可求得a的值．

解答 解：∵f（x）是奇函數(shù)，x∈（-2，0）時(shí)，f（x）的最小值為2，
∴f（x）在（0，2）上的最大值為-2．
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
令f′（x）=0得x=$\frac{1}{a}$，又a＞$\frac{1}{2}$，∴0＜$\frac{1}{a}$＜2，
令f′（x）＞0，則x＜$\frac{1}{a}$，∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上遞增；令f′（x）＜0，則x＞$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（$\frac{1}{a}$，2）上遞減，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-a•$\frac{1}{a}$=-2，∴l(xiāng)n$\frac{1}{a}$=-1，得$\frac{1}{a}$=e^-1，a=e，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．