Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，R .

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;

（2）若函數(shù)有兩個極值點,, 且, 求的取值范圍;

（3）在（2）的條件下, 證明:.

Answer 1

（1）當(dāng)時, 函數(shù)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時, 函數(shù)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時, 函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域，再對函數(shù)求導(dǎo)，進而令導(dǎo)函數(shù)為零，得到方程，對方程是否有實數(shù)根進行討論，即可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）將函數(shù)有兩個極值點,轉(zhuǎn)化為方程在有兩不等實根，結(jié)合（1），即可得的取值范圍；（3）先將化簡，再令, ，進而可證，即可得.

試題解析：(1)解: 函數(shù)的定義域為,

, 1分

令, 得, 其判別式,

① 當(dāng),即時, ,, 此時,在上單調(diào)遞增;

2分

② 當(dāng), 即時, 方程的兩根為,,

3分

若, 則, 則時, , 時, ,

此時, 在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增; 4分

若,則, 則時, ,時, ,

時, ,

此時, 在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增. 5分

綜上所述, 當(dāng)時, 函數(shù)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時, 函數(shù)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時, 函數(shù)在上單調(diào)遞增. 6分

(2) 解:由(1)可知, 函數(shù)有兩個極值點,,等價于方程在有

兩不等實根, 故. 7分

(3) 證明: 由(1), (2)得, , 且, . 8分

, 9分

令, ,

則, 10分

由于, 則, 故在上單調(diào)遞減. 11分

故. 12分

∴. 13分

∴. 14分

考點：1、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2、參數(shù)的取值范圍；3、用導(dǎo)數(shù)證明不等式.