Question

直線l過點M(2,1),且分別交x軸、y軸正半軸與A、B兩點,O是坐標(biāo)原點.

(1)當(dāng)△AOB的面積最小時,求直線l的方程;

(2)當(dāng)|MA|·|MB|取最小值時,求l的方程.

Answer 1

解：設(shè)直線l:y-1=k(x-2)(k＜0),則有A(2-,0)、B(0,1-2k).

(1)由三角形面積S=(1-2k)(2-),得4k²+2(S-2)k+1=0.

因為Δ=4(S-2)²-16≥0,

所以S≥4或S≤0(舍去).

又當(dāng)S≥4時,k＜0,

所以△AOB面積的最小值為4.

此時,由4k²+4k+1=0,得k=-.

所以直線方程為y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.

(2)因為|MA|·|MB|=·=2［-+(-k)］≥4(因為k＜0),當(dāng)且僅當(dāng)-k=-,即k=-1時,|MA|·|MB|取最小值4.此時直線方程為x+y-3=0.