Question

18．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{x^3}+3{x^2}+m，\;\;0≤x≤1，\;\\ mx+5，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x＞1.\;\end{array}\right.$若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-5，0）．

Answer 1

分析 由分段函數(shù)知，分段討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求導(dǎo)可知f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，從而化為函數(shù)f（x）在[0，1]與（1，+∞）上各有一個(gè)零點(diǎn)；從而求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，
f（x）=2x³+3x²+m，
f′（x）=6x²+6x=6x（x+1）≥0；
故f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
故若使函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
則函數(shù)f（x）在[0，1]與（1，+∞）上各有一個(gè)零點(diǎn)；
故m＜0，
故$\left\{\begin{array}{l}{f（0）•f（1）≤0}\\{m+5＞0}\end{array}\right.$，
解得，m∈（-5，0）；
故答案為：（-5，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．