Question

6．已知f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數(shù)根，則t的取值范圍為（　�。�

• A． （$\frac{{e}^{2}+1}{e}$，+∞）
• B． （-∞，-$\frac{{e}^{2}+1}{e}$）
• C． （-$\frac{{e}^{2}+1}{e}$，-2）
• D． （2，$\frac{{e}^{2}+1}{e}$）

Answer 1

分析 化簡f（x）=|xe^x|=$\left\{\begin{array}{l}{x{e}^{x}，x≥0}\\{-x{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，從而求導(dǎo)以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而作出函數(shù)的簡圖，從而解得．

解答 解：f（x）=|xe^x|=$\left\{\begin{array}{l}{x{e}^{x}，x≥0}\\{-x{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
易知f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
當x∈（-∞，0）時，f（x）=-xe^x，
f′（x）=-e^x（x+1），
故f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)，在（-1，0）上是減函數(shù)；
作其圖象如下，

且f（-1）=$\frac{1}{e}$；
故若方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數(shù)根，
則方程x²+tx+1=0（t∈R）有兩個不同的實根，且x₁∈（0，$\frac{1}{e}$），x₂∈（$\frac{1}{e}$，+∞）∪{0}，
故$\left\{\begin{array}{l}{0+0+1＞0}\\{\frac{1}{{e}^{2}}+t\frac{1}{e}+1＜0}\end{array}\right.$，或1=0
解得，t∈（-∞，-$\frac{{e}^{2}+1}{e}$），
故選：B．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．