Question

6．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1和點(diǎn)P（4，2），直線l經(jīng)過點(diǎn)P且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)直線l的斜率為$\frac{1}{2}$時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)P點(diǎn)恰好為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，解方程可得交點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn) 的距離公式即可得到弦長(zhǎng)；
（2）運(yùn)用點(diǎn)差法，求得直線的斜率，即可得到直線方程．

解答 解：（1）直線l的方程為y-2=$\frac{1}{2}$（x-4），即為y=$\frac{1}{2}$x，
代入橢圓方程x²+4y²=36，可得
x=±3$\sqrt{2}$，y=±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
即有|AB|=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{10}$；
（2）由P的坐標(biāo)，可得$\frac{16}{36}$+$\frac{4}{9}$＜1，可得P在橢圓內(nèi)，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{36}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}$=1，①$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{36}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}$=1，②
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，③
由①-②可得，$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{36}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{9}$=0，④
將③代入④，可得
k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
則所求直線的方程為y-2=-$\frac{1}{2}$（x-4），
即為x+2y-8=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)和直線方程的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立方程和點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．