Question

5．一個正四棱錐和一個正方體，它們有半徑相同的內(nèi)切球，記正四棱錐的體積為V₁，正方體體積為V₂，且V₁=kV₂，則實(shí)數(shù)k的最大值為$\frac{64}{81}$．

Answer 1

分析 求出正四棱錐體積，利用基本不等式求出最大值，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)正四棱錐S-ABCD的底面邊長等于a，底面到球心的距離等于x，則x²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²=R²，
而正四棱錐的高為h=R+x，故正四棱錐體積為V₁=$\frac{1}{3}x{a}^{2}h$=$\frac{2}{3}$（R²-x²）（R+x）（x∈（0，R），
∵$\frac{2}{3}$（R²-x²）（R+x）=$\frac{1}{3}$（2R-2x）（R+x）（R+x）≤$\frac{1}{3}$×$[\frac{（2R-2x）+（R+x）+（R+x）}{3}]^{3}$=$\frac{64}{81}{R}^{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{3}$R時，等號成立，
∴正四棱錐的體積的最大值為$\frac{64}{81}{R}^{3}$，
∵V₁=kV₂，V₂=R³
∴k=$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$≤$\frac{64}{81}$，
∴實(shí)數(shù)k的最大值為$\frac{64}{81}$．

點(diǎn)評 本題考查正四棱錐的體積，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．