Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x-3|+|x-2|+k．
（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)k=1時(shí)，解不等式：f（x）＜3x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)f（x）≥3恒成立，得到|x-3|+|x-2|的最小值大于等于3-k，求出|x-3|+|x-2|的最小值即可確定出k的取值范圍；
（Ⅱ）把k=1代入不等式，分情況討論x的范圍，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，求出不等式的解集即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得|x-3|+|x-2|+k≥3，對(duì)?x∈R恒成立，
即（|x-3|+|x-2|）_min≥3-k，
又|x-3|+|x-2|≥|x-3-x+2|=1，
∴（|x-3|+|x-2|）_min=1≥3-k，
解得：k≥2；
（Ⅱ）當(dāng)k=1時(shí)，不等式可化為f（x）=|x-3|+|x-2|+1＜3x，
當(dāng)x≤2時(shí)，變形為5x＞6，
解得：x＞$\frac{6}{5}$，
此時(shí)不等式解集為$\frac{6}{5}$＜x≤2；
當(dāng)2＜x＜3時(shí)，變形為3x＞2，
解得：x＞$\frac{2}{3}$，
此時(shí)不等式解集為2＜x＜3；
當(dāng)x≥3時(shí)，不等式解得：x＞-4，
此時(shí)不等式解集為x≥3，
綜上，原不等式的解集為（$\frac{6}{5}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了絕對(duì)值三角不等式，以及絕對(duì)值不等式的解法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．