Question

18．已知函數$f（x）=-aln\frac{1}{x}-b{x^2}$圖象上一點P（2，f（2））處的切線方程為y=-3x+2ln2+2．．
（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）+m=0在$[\frac{1}{e}，e]$內有兩個不等實根，求m的取值范圍（其中e為自然對數的底，e≈2.7）．

Answer 1

分析 （1）根據函數切線建立方程關系即可求a，b的值；
（2）構造方程，求函數的導數，利用導數進行求解即可．

解答 解（Ⅰ）f′（x）=$\frac{a}{x}$-2bx，f′（2）=$\frac{a}{2}$-4b，f（2）=aln2-4b．
∵點P（2，f（2））處的切線方程為y=-3x+2ln2+2．．
∴$\frac{a}{2}$-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2．
解得a=2，b=1．
（Ⅱ）f（x）=2lnx-x²，
令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
則h′（x）=$\frac{2}{x}$-2x=$\frac{2（1-{x}^{2}）}{x}$，
令h′（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
在$[\frac{1}{e}，e]$內，當x∈[$\frac{1}{e}$，1）時，h′（x）＞0，∴h（x）是增函數；
當x∈（1，e]時，h′（x）＜0，∴h（x）是減函數．
則方程h（x）=0在[$\frac{1}{e}$，e]內有兩個不等實根的充要條件是$\left\{\begin{array}{l}{h（\frac{1}{e}）≤0}\\{h（1）＞0}\\{h（e）≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-2-（\frac{1}{e}）^{2}+m≤0}\\{m-1＞0}\\{2-{e}^{2}+m≤0}\end{array}\right.$，解得1＜m≤2+（$\frac{1}{e}$）²．

點評 本題主要考查導數的幾何意義以及函數與方程之間的關系，考查學生的運算能力．