Question

4．設(shè)x＞0，y＞0．z＞0，且x+y=2，x²+y²+z²=6，則xy+yz+zx的取值范圍是（2$\sqrt{2}$，5]．

Answer 1

分析 利用x+y=2，x²+y²+z²=6，可得xy=$\frac{1}{2}$z²-1，xy+yz+zx=（x+y）z+xy=$\frac{1}{2}$z²-1+2z=$\frac{1}{2}$（z+2）²-3，確定z的范圍，即可確定xy+yz+zx的取值范圍．

解答 解：∵x²+y²+z²=6，
∴x²+y²=6-z²，
∴（x+y）²-2xy=6-z²，
∵x+y=2，
∴xy=$\frac{1}{2}$z²-1，
∴xy+yz+zx=（x+y）z+xy=$\frac{1}{2}$z²-1+2z=$\frac{1}{2}$（z+2）²-3，
∵0＜xy≤$\frac{1}{4}$（x+y）²=1，
∴0＜$\frac{1}{2}$z²-1≤1，
∴$\sqrt{2}$＜z≤2，
∴2$\sqrt{2}$＜xy+yz+zx≤5．
故答案為：（2$\sqrt{2}$，5]．

點評 本題考查xy+yz+zx的取值范圍，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確變形是關(guān)鍵．