Question

2．已知過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點(diǎn)F且垂直實(shí)軸的直線與雙曲線的兩個交點(diǎn)分別為A、B，如果A、B與雙曲線的左焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則該雙曲線的漸近線方程為（　　）

• A． y=±2x
• B． y=±$\sqrt{2}$x
• C． y=±$\sqrt{3}$x
• D． y=±$\frac{1}{2}$x

Answer 1

分析 由△AF₁B是等邊三角形，得到2c=$\sqrt{3}$•$\frac{^{2}}{a}$，求出該雙曲線的離心率，即可求出雙曲線的漸近線方程．

解答 解：不妨設(shè)A（c，y₀）其中y₀＞0，c為雙曲線的半焦距，將點(diǎn)P（c，y₀）代入雙曲線得到：y₀=$\frac{^{2}}{a}$
由△AF₁B是等邊三角形，得到2c=$\sqrt{3}$•$\frac{^{2}}{a}$
所以$\sqrt{3}$（c²-a²）=2ac
所以整理得：$\sqrt{3}{e}^{2}-2e-\sqrt{3}=0$
解得：e=$\sqrt{3}$或-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（負(fù)值舍去）
所以c=$\sqrt{3}$a，b=$\sqrt{2}$a，
所以該雙曲線的漸近線方程為y=$±\sqrt{2}$x，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．