Question

13．如圖，已知長方形ABCD中，AB=2，A₁，B₁分別是AD，BC邊上的點，且AA₁=BB₁=1，E，F(xiàn)分別為B₁D與AB的中點．把長方形ABCD沿直線A₁B₁折成直角二面角，且∠A₁B₁D=30°．

（1）求證：CD⊥EF
（2）求三棱錐A₁-B₁EF的體積．

Answer 1

分析 （I）證明AA₁⊥A₁B₁，取A₁B₁的中點G，邊接EG，F(xiàn)G，推出FG⊥A₁B₁，EG⊥A₁B₁，即可證明A₁B₁⊥面EFG，然后證明CD⊥EF．
（II）通過二面角A-A₁B₁-D為直二面角，利用FG⊥面A₁B₁E，然后求解幾何體的體積．

解答 解：（I）證明：因為AA₁=BB₁=1，且AA₁∥BB₁，所以四邊形ABB₁A₁為矩形，故AA₁⊥A₁B₁，
取A₁B₁的中點G，邊接EG，F(xiàn)G，因為F為AB的中點，所以AF∥A₁G，且AF=A₁G，
可得四邊形AFGA₁是平行四邊形，所以FG∥AA₁，故FG⊥A₁B₁，
同理可得EG⊥A₁B₁，所以A₁B₁⊥面EFG，可得A₁B₁⊥EF．
因為CD∥A₁B₁，所以CD⊥EF．（6分）
（II）因為∠A₁B₁D=30°，所以$tan{30°}=\frac{{{A_1}D}}{{{A_1}{B_1}}}=\frac{{{A_1}D}}{2}$，
可得${A_1}D=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，EG=\frac{1}{2}{A_1}D=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
因為二面角A-A₁B₁-D為直二面角，由（I）可知FG⊥面A₁B₁E，
所以${V_{{A_1}-{B_1}EF}}={V_{F-{A_1}{B_1}E}}=\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}×2=\frac{{\sqrt{3}}}{9}$（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質定理的應用，幾何體的體積的求法，考查計算能力以及空間想象能力．