Question

11．定義在R上函數(shù)f（x）滿足：f（x）=f（-x），f（2+x）=f（2-x），若曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為x+y-3=0，則y=f（x）在x=2015的切線方程為（　　）

• A． x+y-3=0
• B． x-y-2013=0
• C． x-y-2015=0
• D． x-y+2017=0

Answer 1

分析 由f（-x）=f（x），f（x+2）=f（2-x），可令x為x+2，可得f（x）為周期為4的函數(shù)，再由x=1處的切線方程為x+y-3=0，可得f（1），f（2015），再通過(guò)求導(dǎo)，可得導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)且為周期函數(shù)，即可求得f′（2015），由點(diǎn)斜式方程，即可得到所求切線方程．

解答 解：由f（-x）=f（x），f（x+2）=f（2-x），
即有f（x+4）=f（2-（x+2））=f（-x）=f（x），
則f（x）為周期為4的函數(shù)，
若曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為x+y-3=0，
則f（1）=2，f′（1）=-1，
即有f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=f（1）=2，
對(duì)f（-x）=f（x），兩邊求導(dǎo)，可得-f′（-x）=f′（x），
由f（x+4）=f（x），可得f′（x+4）=f′（x），
即有f′（2015）=f′（3）=f′（-1）=1，
則該曲線在x=2015處的切線方程為y-2=x-2015，
即為x-y-2013=0．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查函數(shù)的奇偶性和周期性的運(yùn)用，屬于中檔題．