Question

13．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=ba_n+c．
（1）當(dāng)a、b、c滿足什么條件時(shí)，{a_n}是等差數(shù)列；
（2）當(dāng)a、b、c滿足什么條件時(shí)，{a_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）通過a_n+1-a_n=（b-1）a_n+c及等差數(shù)列的概念可知b-1=0即b=1；
（2）通過$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=b+$\frac{c}{{a}_{n}}$及等比數(shù)列的概念可知$\frac{c}{{a}_{n}}$=0即c=0．

解答 解：（1）依題意，a_n+1-a_n=ba_n+c-a_n=（b-1）a_n+c，
∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴b-1=0，即b=1，
∴當(dāng)b=1時(shí)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）依題意，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{b{a}_{n}+c}{{a}_{n}}$=b+$\frac{c}{{a}_{n}}$，
∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴$\frac{c}{{a}_{n}}$=0，即c=0，
∴當(dāng)c=0時(shí)數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差、等比數(shù)列的判定，注意解題方法的積累，屬于中檔題．