Question

16．已知${（\sqrt{x}-\frac{3}{{\sqrt{x}}}）^n}$二項(xiàng)展開式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比為8：3．
（1）求n的值；
（2）求展開式中x³項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n的值．
（2）在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于3，求出r的值，即可求得展開式中x³項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：（1）由題意可得$C_n^3：C_n^2=8：3$，解得：n=10．
（2）由${（\sqrt{x}-\frac{3}{{\sqrt{x}}}）^n}$二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為 ${T_{k+1}}=C_{10}^k{（\sqrt{x}）^{10-k}}{（-\frac{3}{{\sqrt{x}}}）^k}={（-3）^k}C_{10}^k{x^{5-k}}$，
令5-k=3，可得k=2，故展開式中x³項(xiàng)的系數(shù)為9•${C}_{10}^{2}$=405．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．