Question

19．在數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，S_n是它的前n項和，且2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，求a_n和S_n．

Answer 1

分析 由2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，可得4S_n=$（{a}_{n}+1）^{2}$，利用遞推關(guān)系可得：化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，再利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出．

解答 解：∵2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，
∴4S_n=$（{a}_{n}+1）^{2}$，
∴當(dāng)n=1時，4a₁=$（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時，$4{S}_{n-1}=（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
∴4a_n=$（{a}_{n}+1）^{2}$-$（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．

點評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．