Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值；
（Ⅲ）若對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，可得切線方程；
（Ⅱ）分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）+2x，則g（x）=ax²-ax+lnx，只要g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增即可，從而可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-3x+lnx，f′（x）=2x-3+

1

x

．
因?yàn)閒′（1）=0，f（1）=-2，所以切線方程是y=-2；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定義域是（0，+∞）．
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=

2ax2-(a+2)x+1

x

（x＞0）
令f′（x）=0，可得x=

1

2

或x=

1

a

．
當(dāng)0＜

1

a

≤1，即a≥1時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；
當(dāng)1＜

1

a

＜e時(shí)，f（x）在[1，e]上的最小值是f（

1

a

）=-1-

1

a

+ln

1

a

；
當(dāng)

1

a

≥e時(shí)，f（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）=ae²-（a+2）e+1；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）+2x，則g（x）=ax²-ax+lnx，
只要g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增即可
而g′（x）=

2ax2-ax+1

x

當(dāng)a=0時(shí)，g′（x）=

1

x

＞0，此時(shí)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a≠0時(shí)，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，因?yàn)閤∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，
則需要a＞0，對(duì)于函數(shù)y=2ax²-ax+1，過(guò)定點(diǎn)（0，1），對(duì)稱軸x=

1

4

＞0，只需△=a²-8a≤0，
即0＜a≤8．
綜上0≤a≤8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，正確構(gòu)造函數(shù)的關(guān)鍵．