Question

已知a、b、c是正數(shù)，求證：

2a+1

+

2b+1

+

2c+1

＜a+b+c+3．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題

分析：令t=

2a+1

+

2b+1

+

2c+1

，則t²=（2a+1）+（2b+1）+（2c+1）+2

2a+1

•

2b+1

+2

2a+1

•

2c+1

+2

2b+1

•

2c+1

，利用基本不等式可求得t²≤6（a+b+c）+9，而易證[（a+b+c）+3]²-[6（a+b+c）+9]＞0，從而可使原結論得證．

解答： 證明：令t=

2a+1

+

2b+1

+

2c+1

，
則t²=（2a+1）+（2b+1）+（2c+1）+2

2a+1

•

2b+1

+2

2a+1

•

2c+1

+2

2b+1

•

2c+1

，
∵（2a+1）+（2b+1）+（2c+1）=2（a+b+c）+3，
2

2a+1

•

2b+1

+≤（2a+1）+（2b+1），
2

2a+1

•

2c+1

+≤（2a+1）+（2c+1），
2

2b+1

•

2c+1

≤（2b+1）+（2c+1），
∴t²≤6（a+b+c）+9（當且僅當x=y=z=1時取“=”），
又a、b、c是正數(shù)，[（a+b+c）+3]²-[6（a+b+c）+9]
=（a+b+c）²+6（a+b+c）+9-[6（a+b+c）+9]
=（a+b+c）²＞0，
∴t²＜[（a+b+c）+3]²，
∴t＜a+b+c+3，即

2a+1

+

2b+1

+

2c+1

＜a+b+c+3．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查基本不等式的應用，考查等價轉化思想與創(chuàng)新思維、邏輯思維能力，屬于難題．