Question

3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，過右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，當l與x軸垂直時，AB長為$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．   
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若橢圓上存在一點P，使得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由c=1，丨AB丨=$\frac{{2b}^{2}}{a}$=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，a²=b²+c²，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理，及向量數(shù)量積的坐標運算，即可求得直線l的斜率．

解答 解：（1）由題意可知2c=2，c=1，
當l與x軸垂直時，丨AB丨=$\frac{{2b}^{2}}{a}$=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，…（2分）
由a²=b²+c²，則a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
故橢圓的標準方程是：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；…（4分）
（2）設直線l的斜率為k，則直線l的方程：y=k（x-1），設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$可得（3k²+2）x²-6k²x+3k²-6=0，…（6分）
則x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-6}{3{k}^{2}+2}$．（*）
因$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}={x}_{1}+{x}_{2}}\\{{y}_{3}={y}_{1}+{y}_{2}}\end{array}\right.$，代入橢圓方程$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{3}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{2}$=1，
又$\frac{{x}_{1}^{2}}{3}+\frac{{y}_{1}^{2}}{2}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{3}+\frac{{y}_{2}^{2}}{2}=1$，化簡得2x₁x₂+3y₁y₂+3=0，即（3k²+2）x₁x₂-3k²（x₁+x₂）+3k²+3=0，…（10分）
將（*）代入得
3k²-6-$\frac{3{k}^{2}×6{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}$+3k²+3=0，k²=2，即k=±$\sqrt{2}$，
故直線l的斜率為±$\sqrt{2}$．…（14分）

點評 本題考查橢圓的標準方程與幾何性質、直線的方程、直線與橢圓等基礎知識，考查分析問題及運算求解能力，屬于中檔題．