Question

5．在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn)，對(duì)任意自然數(shù)n，連接原點(diǎn)O與點(diǎn)A_n（n，n+5），若用f（n）表示線(xiàn)段OA_n上除端點(diǎn)外的整點(diǎn)個(gè)數(shù)，則f（1）+f（2）+…+f（2011）=1608．

Answer 1

分析 因?yàn)榫�(xiàn)段OA_n斜率k=$\frac{n+5}{n}$=1+$\frac{5}{n}$，所在直線(xiàn)方程為y=x+$\frac{5}{n}$x，所以n為5的倍數(shù)，才能找出比n小的整數(shù)x，使得y也為整數(shù)．由此入手能夠求出f（1）+f（2）+…+f（2011）的值．

解答 解：∵線(xiàn)段OA_n斜率k=$\frac{n+5}{n}$=1+$\frac{5}{n}$，
所在直線(xiàn)方程為y=x+$\frac{5}{n}$x，
∴n為5的倍數(shù)，才能找出比n小的整數(shù)x，使得y也為整數(shù)．
∴當(dāng)n=5，10，15，20，…，2010時(shí)，線(xiàn)段OA_n上有除端點(diǎn)外的4個(gè)整點(diǎn)．
數(shù)列5，10，15，20，…，2010是首項(xiàng)為5，公差為5的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為a_m=5m．
由5m=2010知m=402，
∴f（1）+f（2）+…+f（2010）=4×402=1608，
故答案為：1608

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，挖掘題設(shè)條件中的隱含條件．