Question

1．已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，求解是否存在這樣的A，B，C（A≠B≠C）使得cosA+cosB=cosC．

Answer 1

分析 首先，根據(jù)和差化積公式，化簡(jiǎn)等式的左邊，然后，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，適當(dāng)?shù)淖冃�，得到相�?yīng)的結(jié)論．

解答 解：存在．理由如下：
根據(jù)積化和差公式，
cosα+cosβ=2cos$\frac{α+β}{2}$•cos$\frac{α-β}{2}$，
得cosA+cosB=2cos$\frac{A+B}{2}$•cos$\frac{A-B}{2}$，
又A+B+C=π，代入到cosA+cosB=cosC中，
變形得：2cos$\frac{π-C}{2}$•cos$\frac{A-B}{2}$=cosC，
進(jìn)一步變形：2sin$\frac{C}{2}$•cos$\frac{A-B}{2}$=1-2sin²$\frac{C}{2}$•
令 sin$\frac{C}{2}$=m，cos$\frac{A-B}{2}$=n，則0＜m＜1，0＜n≤1．
則有：2m²+2mn-1=0，
∴n=$\frac{1-2{m}^{2}}{2m}$，
∵0＜n≤1，
∴0＜$\frac{1-2{m}^{2}}{2m}$≤1，
∴$\frac{\sqrt{3}-1}{2}≤m＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由y=sinx的單調(diào)性知：
$\frac{π}{6}＜\frac{C}{2}＜\frac{π}{4}$，
∴$\frac{π}{3}＜C＜\frac{π}{2}$，
推出$\frac{π}{3}＜$π-（A+B）＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}＜A+B＜\frac{2π}{3}$．
故存在這樣的A，B，C（A≠B≠C）使得cosA+cosB=cosC．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了和差化積公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、內(nèi)角和定理等知識(shí)，屬于中檔題．