Question

16．已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f（x）=e^x-e^-x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+1，f′（x）為其導(dǎo)函數(shù)，則f（e）+f′（e）+f（-e）-f′（-e）=2．

Answer 1

分析 由已知函數(shù)解析式，令函數(shù)g（x）=f（x）-1，可知函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，求導(dǎo)后判斷g′（x）=f′（x）為偶函數(shù)，然后借助于函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得f（e）+f（-e）=2，f′（e）-f′（-e）=0，由此求得f（e）+f′（e）+f（-e）-f′（-e）=2．

解答 解：f（x）=e^x-e^-x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+1，
令g（x）=f（x）-1=e^x-e^-x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），
則g（-x）=f（-x）-1=${e}^{-x}-{e}^{x}+ln（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）$，
g（x）+g（-x）=0，故g（x）為奇函數(shù)，
g′（x）=f′（x）=${e}^{x}+{e}^{-x}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}•（\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}+1）$=${e}^{x}+{e}^{-x}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
由g′（x）-g′（-x）=${e}^{x}+{e}^{-x}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-${e}^{-x}-{e}^{x}-\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}=0$，
可知g′（x）=f′（x）為偶函數(shù)，
g（e）+g（-e）=f（e）-1+f（-e）-1=0，
∴f（e）+f（-e）=2．
又f′（e）=f′（-e），
∴f′（e）-f′（-e）=0，
∴f（e）+f′（e）+f（-e）-f′（-e）=2．
故答案為：2．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了靈活運算能力，是中檔題．