Question

3．若不等式x³-2xlog_ax≤0在x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 不等式整理為$\frac{1}{2}$x²≤log_ax在x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）時(shí)恒成立，只需$\frac{1}{2}$x²的最大值小于log_ax的最小值，利用分類討論對a討論即可．

解答 解：x³-2xlog_ax≤0在x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]恒成立，
x²-2log_ax≤0
∴$\frac{1}{2}$x²≤log_ax在x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）時(shí)恒成立
∴$\frac{1}{2}$x²的最大值小于log_ax的最小值
∴$\frac{1}{2}$ x²≤1/4≤log_ax
當(dāng)a＞1時(shí)，log_ax為遞增
但最小值為負(fù)數(shù)不成立
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log_ax為遞減
最小值在x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$上取到，
∴l(xiāng)og_a $\frac{\sqrt{2}}{2}$≥1/4=log_a ${a}^{\frac{1}{4}}$
∴a≥$\frac{1}{4}$，
故a的最小值為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 考查了對數(shù)函數(shù)的分類討論和恒成立問題．