Question

8．已知函數(shù)f（x）=log₂（2^-x-1）．
（1）求f（x）的定義域，值域；
（2）若f（x）＜0，求x的值；
（3）判斷并證明f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）由2^-x-1＞0，解得：x＜0，從而求出函數(shù)的定義域、值域問題；（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質得到不等式，解出即可；（3）通過求導判斷函數(shù)的單調性即可．

解答 解：（1）由2^-x-1＞0，解得：x＜0，
∴函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，0），值域是（-∞，+∞）；
（2）若f（x）＜0，即log₂（2^-x-1）＜0，
∴0＜2^-x-1＜1，解得：-1＜x＜0，
（3）∵f′（x）=$\frac{{{（2}^{-x}-1）}^{′}}{{（2}^{-x}-1）lna}$=-$\frac{{2}^{-x}}{{2}^{-x}-1}$＜0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調遞減．

點評 本題考查了函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)的單調性問題；考查對數(shù)函數(shù)的性質，是一道基礎題．