Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上，且PF⊥x軸，|PF|=$\frac{1}{2}$，橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若P₁P₂是橢圓上不同的兩點(diǎn)，P₁P₂⊥x軸，圓E過F，P₁，P₂三點(diǎn)，且橢圓上任意一點(diǎn)都不在圓E內(nèi)，求圓E的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)F（c，0），x=c代入橢圓方程，解得|PF|，運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程即可得到a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）由橢圓的對稱性，設(shè)P₁（m，n），P₂（m，-n），點(diǎn)E在x軸上，設(shè)點(diǎn)E（t，0），圓E的方程為：（x-t）²+y²=（m-t）²+n²，由此利用內(nèi)切圓定義結(jié)合已知條件能求出橢圓C存在符合條件的內(nèi)切圓方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)F（c，0），令x=c，代入橢圓方程，可得
y²=b²（1-$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$），解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
由題意可得，$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）由橢圓的對稱性，可以設(shè)P₁（m，n），P₂（m，-n），
點(diǎn)E在x軸上，設(shè)點(diǎn)E（t，0），
則圓E的方程為：（x-t）²+y²=（m-t）²+n²，
由內(nèi)切圓定義知道，橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)E距離的最小值是|P₁E|，
設(shè)點(diǎn)M（x，y）是橢圓C上任意一點(diǎn)，
則|ME|²=（x-t）²+y²=$\frac{3}{4}$x²-2tx+t²+1，
當(dāng)x=m時(shí)，|ME|²最小，∴m=-$\frac{-2t}{\frac{3}{2}}$=$\frac{4t}{3}$，①，
又圓E過點(diǎn)F，所以（-$\sqrt{3}$-t）²=（m-t）²+n²，②，
點(diǎn)P₁在橢圓上，∴n²=1-$\frac{{m}^{2}}{4}$，③，
由①②③解得：t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t=-$\sqrt{3}$，
又t=-$\sqrt{3}$時(shí)，m=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜-2，不合題意，
綜上：圓心E（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），m=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，n²=$\frac{2}{3}$，
即有圓E的方程為（x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+y²=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率公式的運(yùn)用，同時(shí)考查圓的方程的求法，注意運(yùn)用對稱性是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．