Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AB⊥AC，AC⊥PB，點E為PD上一點，AE=$\frac{1}{2}$PD，PB∥平面AEC，求證：PA⊥平面ABCD．

Answer 1

分析 由AB⊥AC，AC⊥PB，即可證AC⊥AP，連接BD，交AC與點O，連接OE，有DO=OB，由PB∥平面AEC，可證PB∥OE，從而可得PE=ED，結(jié)合AE=$\frac{1}{2}$PD，可得點P，A，D三點共圓，可得：PA⊥AD，即可證明PA⊥平面ABCD．

解答 證明：∵AB⊥AC，AC⊥PB，AB∩PB=B，
∴AC⊥平面ABP，
∵PA?平面ABP
∴AC⊥AP，
如圖，連接BD，交AC與點O，連接OE，
∵底面ABCD是平行四邊形，
∴DO=OB，
∵PB∥平面AEC，PB?平面PAB，平面PAB∩平面AEC=OE，
∴PB∥OE，
∴PE=ED，
∵AE=$\frac{1}{2}$PD，
∴PE=ED=AE，即：點P，A，D三點共圓，可得：PA⊥AD，
又∵AC∩AD=A，底面ABCD是平行四邊形，
∴PA⊥平面ABCD．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的性質(zhì)的應用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．