Question

9．設$n=\int_0^{\frac{π}{2}}{4sinxdx}$，則二項式${（{x-\frac{2}{x}}）^n}$的展開式的常數項是24．

Answer 1

分析 先利用定積分求出n=4，在二項式展開式的通項公式中，令x的冪指數等于0，求得r的值，即可求得展開式中的常數項的值．

解答 解：∵$n=\int_0^{\frac{π}{2}}{4sinxdx}$=-4cosx${|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=0+4=4，則二項式${（{x-\frac{2}{x}}）^n}$=${（x-\frac{2}{x}）}^{4}$ 的展開式的通項公式為T_r+1=${C}_{4}^{r}$•x^4-r•${（-\frac{2}{x}）}^{r}$=${C}_{4}^{r}$•（-2）^r•x^4-2r，
令4-2r=0，求得r=2，可得常數項為 ${C}_{4}^{2}$•4=24，
故答案為：24．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．