Question

15．直線x=t（t＞0），與函數(shù)f（x）=x²+1，g（x）=lnx的圖象分別交于A，B兩點，則|AB|最小值（　�。�

• A． $\frac{1}{2}+ln2$
• B． $\frac{1}{2}+2ln2$
• C． $\frac{3}{2}+2ln2$
• D． $\frac{3}{2}+\frac{1}{2}ln2$

Answer 1

分析 將兩個函數(shù)作差，得到函數(shù)y=f（x）-g（x），再求此函數(shù)的最小值即可得到|AB|最小值．

解答 解：設(shè)函數(shù)y=f（x）-g（x）=x²-lnx+1，求導(dǎo)數(shù)得
y′=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-1}{x}$，
當(dāng)0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，y′＜0，函數(shù)在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上為單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)x＞時，y′＞0，函數(shù)在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，
所以當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，所設(shè)函數(shù)的最小值為$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2，
所以|AB|最小值為$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2，
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵．