Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$.$\overrightarrow{n}$，且$\overrightarrow{m}$=（sinωx+cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），$\overrightarrow{n}$=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若函數(shù)f（x）相鄰兩對稱軸的距離大于等于$\frac{π}{2}$．
（1）求ω的取值范圍；
（2）在銳角三角形△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，當ω最大時，f（A）=1，且a=$\sqrt{3}$，求c+b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二倍角公式和和差角公式（輔助角公式），化簡函數(shù)解析式為正弦型函數(shù)的形式，進而結(jié)合相鄰兩對稱軸的距離大于等于$\frac{π}{2}$．可得f（x）的最小正周期，求出ω的取值范圍；
（2）由正弦定理可得b=2sinB，c=2sinC，再由B，C的關(guān)系，求得B的范圍，結(jié)合兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cos²ωx-sin²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx
=cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx=2（$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
由題意得$\frac{T}{2}$≥$\frac{π}{2}$，即T≥π，
又∵ω＞0，
∴$\frac{2π}{2ω}$≥π，
∴0＜ω≤1；
（2）當ω最大時，即有ω=1，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$，∴2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2，
則b=2sinB，c=2sinC，
b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin（$\frac{2π}{3}$-B）
=$\sqrt{3}$cosB+3sinB=2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
在銳角三角形ABC中，0$＜B＜\frac{π}{2}$，0＜$C＜\frac{π}{2}$，
即有0＜$\frac{2π}{3}$-B＜$\frac{π}{2}$，可得$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，
可得$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1，即有3＜2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）≤2$\sqrt{3}$，
則b+c的取值范圍是（3，2$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查的知識點是三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運算，正弦定理和余弦定理，是三角函數(shù)與向量的綜合應(yīng)用，難度中檔．