Question

4．已知雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，△ABO的面積為$\sqrt{3}$，則p的值為（　�。�

• A． $\sqrt{6}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的漸近線方程與拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程，進(jìn)而求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為$\sqrt{3}$，列出方程，由此方程求出p的值．

解答 解：∵雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），
∴雙曲線的漸近線方程是y=±$\frac{a}$x
又拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程是x=-$\frac{p}{2}$，
故A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是y=±$\frac{pa}{2b}$，
又由雙曲線的離心率為2，所以$\frac{c}{a}$=2，則$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是y=±$\frac{\sqrt{3}p}{6}$，
又△AOB的面積為$\sqrt{3}$，x軸是角AOB的角平分線，
∴$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}p×\frac{p}{2}=\sqrt{3}$，得p=2$\sqrt{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線方程，解出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，列出三角形的面積與離心率的關(guān)系也是本題的解題關(guān)鍵，有一定的運(yùn)算量，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)，防運(yùn)算出錯(cuò)．